首页 > （1）已知(xx+23x)n展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．（2）设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*，q≠±1)，A

（1）已知(xx+23x)n展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．（2）设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*，q≠±1)，A

题目简介

（1）已知(xx+23x)n展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．（2）设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*，q≠±1)，A

题目详情

（1）已知(x
x
+
2
3x
)n展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来．
（2）设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N*，q≠±1)，An=
C1n
a1+
C2n
a2+…+
Cnn
an
①用q和n表示An；
②求证：当q充分接近于1时，
An
2n
充分接近于
n
2
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）二项式(x
x
+class="stub"2
3x
)n的展开式的通项公式为 Tr+1=
Crn
•x
3(n-r)
2
•2r•x-class="stub"r
3
=2r •
C rn
•xclass="stub"9n-11r
6
，
展开式中前3项系数的和为 20 •
C 0n
+21 •
C 1n
+22 •
C 2n
=129，解得n=8．
故通项公式为 Tr+1=2r •
C r8
•xclass="stub"72-11r
6
，令 class="stub"72-11r
6
=0，自然数r无解，故展开式中没有常数项．
令 class="stub"72-11r
6
=1，解得自然数r=6，故有一次项，且一次项为1792x．
（2）①因为q≠1，所以，an=1+q+q2+…+qn-1=
1-qn
1-q
．
于是，An=
1-q 
1-q
C1n
+
1-q2
1-q
C2n
+…+
1-qn
1-q
 Cnn =class="stub"1
1-q
[（Cn1+Cn2+…+Cnn）-（Cn1q+Cn2q2+…+Cnnqn）]
=class="stub"1
1-q
{（2n-1）-[（1+q）n-1]}=class="stub"1
1-q
[2n-（1+q）n]．
②∵An=class="stub"1
1-q
[2n-(1+q)n]，∴
An
2n
=class="stub"1
1-q
[1-(1-class="stub"1-q
2
)n]，
当q充分接近于1时，class="stub"1-q
2
接近于0，由二项式定理知(1-class="stub"1-q
2
)n充分接近于1-n(class="stub"1-q
2
)，
所以[1-(1-class="stub"1-q
2
)n]充分接近n(class="stub"1-q
2
)，故class="stub"1
1-q
[1-(1-class="stub"1-q
2
)n]充分接近class="stub"n
2
，命题得证．

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