已知fn（x）=（1+x）n．（1）若f11（x）=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，求a1+a3+…+a11的值；（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6

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已知f_n（x）=（1+x）ⁿ．
（1）若f₁₁（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，求a₁+a₃+…+a₁₁的值；
（2）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（3）证明：

mm+1

mm+2

+…+n

mm+n-1

(m+1)n+1

m+2

]

m+1m+n

．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f11（x）=（1+x）11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，①
考察（1-x）11展开式的项，与①式奇数项相同，偶数项互为相反数．
∴（1+x）11-（1-x）11=2（a1x+a3x3+…+2a11x11），
令x=1得 a1+a3+…+a11=

(1+1)11-011

=1024．
（2）fn（x）=（1+x）n．展开式中含x6项为T7=Cn6x6，系数为Cn6．
g（x）中含x6项的系数等于C66+2C76+3C86=99．
证明：（3）设h（x）=（1+x）m+2（1+x）m+1+…+n（1+x）m+n-1（1）
则函数h（x）中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m
（1+x）h（x）=（1+x）m+1+2（1+x）m+2+…+n（1+x）m+n （2）
（1）-（2）得-xh（x）=（1+x）m+（1+x）m+1+（1+x）m+2+…+（1+x）m+n-1-n（1+x）m+n -xh(x)=

(1+x)m[1-(1+x)n]

1-(1+x)

-n(1+x)m+n
x2h（x）=（1+x）m-（1+x）m+n+nx（1+x）m+n
h（x）中含xm项的系数，即是等式左边含xm+2项的系数，
等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1

(m+n)!

(m+2)!(n-2)!

n(m+n)!

(m+1)!(n-1)!

-(n-1)+n(m+2)

m+2

(m+n)!

(m+1)!(n-1)1

(m+1)n+1

m+2

m+1m+n

所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=

(m+1)n+1

m+2

m+1m+n

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已知fn（x）=（1+x）n．（1）若f11（x）=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，求a1+a3+…+a11的值；（2）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6

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