已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上,(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)

题目简介

已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上,(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)

题目详情

已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图像上,
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m。
题型:解答题难度:中档来源:湖北省高考真题

答案

解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f′(x)=2ax+b,
由于f′(x)=6x-2,得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x,
又因为点均在函数y=f(x)的图像上,所以Sn=3n2-2n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,
所以,an=6n-5(n∈N*);
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
故Tn=
因此,要使成立的m,必须且仅须满足,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10。

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