已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,(1)求数列{an}的通项公式及Sn的

题目简介

已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,(1)求数列{an}的通项公式及Sn的

题目详情

已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;
(2)令,其中n∈N*,求{nbn}的前n项和。
题型:解答题难度:中档来源:陕西省模拟题

答案

解:(1),∴
由f′(x)=-2x+7得:a=-1,b=7,
所以
又因为点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
所以有
当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,
∴an=-2n+8(n∈N*).
令an=-2n+8≥0得n≤4,∴当n=3或n=4时,Sn取得最大值12;
综上,an=-2n+8(n∈N*),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
(2)由题意得,
所以,即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列,
故{nbn}的前n项和,①
,②
所以①-②得:

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