已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。（1）求证{an}为等差数列；（2）求{an}的通项公式。-高三数学

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已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且满足2S_n=a²_n+n-4。
（1）求证{a_n}为等差数列；
（2）求{a_n}的通项公式。

题型：解答题难度：中档来源：同步题

答案

解：（1）当n=1时，有2a1=a+1-4，即a21-2a1-3=0，
解得a1=3（a1=-1舍去）
当n≥2时，有2Sn-1=a2n-1+n-5，
又2Sn=a2n+n-4，
两式相减得2an=a2n-a2n-1+1，
即a2n-2an+1=a2n-1，
也即（an-1）2=a2n-1，
因此an-1=an-1或an-1=-an-1
若an-1=-an-1，则an+an-1=1，而a1=3，
所以a2=-2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an-1=an-1，即an-an-1=1，
因此{an}为等差数列
（2）由（1）知a1=3，d=1，
所以数列{an}的通项公式an=3+（n-1）=n+2，
即an=n+2。

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已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=a2n+n-4。（1）求证{an}为等差数列；（2）求{an}的通项公式。-高三数学

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