已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上。(1)求数列{an}的通项公式;(2)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证bn·bn+2

题目简介

已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上。(1)求数列{an}的通项公式;(2)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证bn·bn+2

题目详情

已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(,an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若列数{bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证bn·bn+2<bn+12
题型:解答题难度:中档来源:福建省高考真题

答案

解:(1)由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1,
又a1=1
所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列
故an=1+(a-1)×1=n。
 (2)由(1)知:an=n从而bn+1-bn=2n
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+···+2+1
==2n-1
因为=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2
=(22n+2-2n-2n+2+1)-(22n+2-2·2n+1+1)=-2n<0
∴bn·bn+2<bn+12。

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