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已知数列{an}满足an+1+an-3an+1-an+3=n，且a2=10，（1）求a1、a3、ac；（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明；（3）是否存在常数c，使数列{ann+c

题目简介

已知数列{an}满足an+1+an-3an+1-an+3=n，且a2=10，（1）求a1、a3、ac；（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明；（3）是否存在常数c，使数列{ann+c

题目详情

已知数列{an}满足
an+1+an-3
an+1-an+3
=n，且a2=10，
（1）求a1、a3、ac；
（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明；
（3）是否存在常数c，使数列{
an
n+c
}成等差数列？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵a图=10，将n=1代入已知等式得a1=3，
同法可得a3=图1，a4=36．
（图）∵a1=3=1×3，a图=10=图×5，a3=3×7，a4=4×9，
∴由此猜想an=n（图n+1）．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1和图时猜想成立；
②假设当n=k（k≥图）时猜想成立，即ak=k（图k+1），
那么，当n=k+1时，因为
ak+1+ak-3
ak+1-ak+3
=k，
所以ak+1=
3k+3-(k+1)ak
k-1
=
3(k+1)-(k+1)k(图k+1)
k-1
=（k+1）（图k+3）
这就是说当n=k+1时猜想也成立．因此an=n（图n+1）成立
（3）假设存在常数c使数列{
an
n+c
}成等差数列，
则有
a图
图+c
-
a1
1+c
=
a3
3+c
-
a图
图+c

把a1=3，a图=10，a3=图1代入得c=0或c=class="stub"1
图
．
当c=0时，数列{
an
n+c
}即为{图n+1}是公差为图着等差数列；
当c=class="stub"1
图
时，数列{
an
n+c
}即为{图n}是公差为图着等差数列．
∴存在常数c=0或c=class="stub"1
图
使数列{
an
n+c
}成等差数列．

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