首页 > 已知m=(cosx+3sinx，1)，n=(2cosx，-y)，满足m•n=0．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c

已知m=(cosx+3sinx，1)，n=(2cosx，-y)，满足m•n=0．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c

题目简介

已知m=(cosx+3sinx，1)，n=(2cosx，-y)，满足m•n=0．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c

题目详情

已知
m
=(cosx+
3
sinx，1)，
n
=(2cosx，-y)，满足
m
•
n
=0．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(
A
2
)=3，且a=2，求△ABC面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
m
•
n
=2cos2x+2
3
sinxcosx-y=
3
sin2x+cos2x+1-y=2sin(2x+class="stub"π
6
)+1-y=0，所以f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)+1．…（3分）
令2x+class="stub"π
6
∈[2kπ-class="stub"π
2
，2kπ+class="stub"π
2
]，得x∈[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]，(k∈Z)，故f（x）的单调递增区间是[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]，(k∈Z)．…（6分）
（2）∵f(class="stub"A
2
)=2sin(A+class="stub"π
6
)+1=3，∴sin(A+class="stub"π
6
)=1，又A+class="stub"π
6
∈(class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
)，∴A+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，∴A=class="stub"π
3
．…（8分）
在△ABC中由余弦定理有，a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc，
可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴S△ABC=class="stub"1
2
bcsinA≤class="stub"1
2
•4•
3
2
=
3
，
即△ABC面积的最大值为
3
．…（12分）

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