已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).若f(x0)=65,x0∈[π4,π2].求cos2x0的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).若f(x0)=65,x0∈[π4,π2].求cos2x0的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1
(x∈R).若f(x0)=
6
5
x0∈[
π
4
π
2
]
.求cos2x0的值.
题型:解答题难度:中档来源:江西模拟

答案

函数f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1
=
3
(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+class="stub"π
6

因为f(x0)=class="stub"6
5
,所以sin(2x0+class="stub"π
6
)=class="stub"3
5

由x0∈[class="stub"π
4
class="stub"π
2
],得2x0+class="stub"π
6
∈[class="stub"2π
3
class="stub"7π
6
]
从而cos(2x0+class="stub"π
6
)=-
1-sin2(2x0+class="stub"π
6
)
=-class="stub"4
5

所以cos2x0=cos[(2x0+class="stub"π
6
)-class="stub"π
6
]=cos(2x0+class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
+sin(2x0+class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6
=
3-4
3
10

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