已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[π2,π],求sin(2α+π3)的值.-数学

题目简介

已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[π2,π],求sin(2α+π3)的值.-数学

题目详情

已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[
π
2
,π]
,求sin(2α+
π
3
)
的值.
题型:解答题难度:中档来源:湖北

答案

由已知得:(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=0⇔3sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0
由已知条件可知cosα≠0,所以α≠class="stub"π
2
,即α∈(class="stub"π
2
,π)
.于是tanα<0,∴tanα=-class="stub"2
3

sin(2α+class="stub"π
3
)=sin2αcosclass="stub"π
3
+cos2αsinclass="stub"π
3

=sinαcosα+
3
2
(cos2α-sin2α)

=class="stub"sinαcosα
cos2α+sin2α
+
3
2
×
cos2α-sin2α
cos2α+sin2α

=class="stub"tanα
1+tan2α
+
3
2
×
1-tan2α
1+tan2α
.

将tanα=-class="stub"2
3
代入上式得
sin(2α+class="stub"π
3
)=-
(-class="stub"2
3
)
1+(-class="stub"2
3
)
2
+
3
2
×
1-(-class="stub"2
3
)
2
1+(-class="stub"2
3
)
2

=-class="stub"6
13
+class="stub"5
26
3
.即为所求.

更多内容推荐