首页 > 设已知a=(2cosα+β2，sinα-β2)，b=(cosα+β2，3sinα-β2)，其中α、β∈（0，π）．（1）若α+β=2π3，且a=2b，求α、β的值；（2）若a•b=52，求tanαta

设已知a=(2cosα+β2，sinα-β2)，b=(cosα+β2，3sinα-β2)，其中α、β∈（0，π）．（1）若α+β=2π3，且a=2b，求α、β的值；（2）若a•b=52，求tanαta

题目简介

设已知a=(2cosα+β2，sinα-β2)，b=(cosα+β2，3sinα-β2)，其中α、β∈（0，π）．（1）若α+β=2π3，且a=2b，求α、β的值；（2）若a•b=52，求tanαta

题目详情

设已知
a
=(2cos
α+β
2
，sin
α-β
2
)，
b
=(cos
α+β
2
，3sin
α-β
2
)，其中α、β∈（0，π）．
（1）若α+β=
2π
3
，且
a
=2
b
，求α、β的值；
（2）若
a
•
b
=
5
2
，求tanαtanβ的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵α+β=class="stub"2π
3
，∴
a
=（1，sin(α-class="stub"π
3
)），
b
=（class="stub"1
2
，3sin(α-class="stub"π
3
)），（2分）
由
a
=2
b
，得sin(α-class="stub"π
3
)=0，α∈（0，π），（4分）
∴α=class="stub"π
3
，β=class="stub"π
3
，（7分）
（2）∵
a
•
b
=2cos22cos(class="stub"α+β
2
)-3sin2class="stub"α-β
2
=1+cos(α+β)+3×
1-cos(α-β)
2

=class="stub"5
2
+cos(α+β)-class="stub"3
2
cos(α-β)（10分）
∴class="stub"5
2
+cos(α+β)-class="stub"3
2
cos(α-β)=class="stub"5
2
，即cos(α+β)=class="stub"3
2
cos(α-β)，
整理得-5sinαsinβ=cosαcosβ，（12分）
∵α、β∈A，∴tanαtanβ=-class="stub"1
5
．（14分）

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