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已知向量m=（2cosωx，-1），n=（sinωx-cosωx，2），函数f（x）=m•n+3的周期为π．（Ⅰ）求正数ω；（Ⅱ）若函数f（x）的图象向左平移π8，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍

题目简介

已知向量m=（2cosωx，-1），n=（sinωx-cosωx，2），函数f（x）=m•n+3的周期为π．（Ⅰ）求正数ω；（Ⅱ）若函数f（x）的图象向左平移π8，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍

题目详情

已知向量
m
=（2cosωx，-1），
n
=（sinωx-cosωx，2），函数f（x）=
m
•
n
+3的周期为π．
（Ⅰ） 求正数ω；
（Ⅱ） 若函数f（x）的图象向左平移
π
8
，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
2
倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．
题型：解答题难度：中档来源：济南二模

答案

（Ⅰ）f（x）=
m
•
n
+3=（2cosωx，-1）•（sinωx-cosωx，2）+3  …（1分）
=2cosωx（sinωx-cosωx）+1  …（2分）
=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1  …（3分）
=sin2ωx-cos2ωx  …（4分）
=
2
sin(2ωx-class="stub"π
4
)． …（5分）
∵T=π，且ω＞0，∴ω=1．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知：f（x）=
2
sin(2x-class="stub"π
4
)，…（7分）
y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=
2
•
2
sin[2(x+class="stub"π
8
)-class="stub"π
4
]=2sin2x． …（9分）
由2kπ-class="stub"π
2
≤2x≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈Z；…（10分）
解得kπ-class="stub"π
4
≤x≤kπ+class="stub"π
4
，k∈Z；…（11分）
∴函数g（x）的单调增区间为[kπ-class="stub"π
4
，kπ+class="stub"π
4
]，k∈Z．…（12分）

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