在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A.B、C,且sin2A+sin2C-sinA•sinC=sin2B(1)求角B的值;(2)求2cos2A+cos(A-C)的范围.-数学

题目简介

在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A.B、C,且sin2A+sin2C-sinA•sinC=sin2B(1)求角B的值;(2)求2cos2A+cos(A-C)的范围.-数学

题目详情

在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A.B、C,且sin2A+sin2C-sinA•sinC=sin2B
(1)求角B的值;
(2)求2cos2A+cos(A-C)的范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解析:(1)△ABC中,由正弦定理得sinA=class="stub"a
2R
,sinB=class="stub"b
2R
,sinC=class="stub"c
2R 

代入已知式,可得 a2+c2-b2=ac,
再由余弦定理求得,cosB=
a2+c2-b2
2ac
=class="stub"1
2
,∴B=class="stub"π
3

(2)△ABC中,A+B+C=π,又B=class="stub"π
3
,∴A+C=class="stub"2π
3
,即 C=class="stub"2π
3
-A,A-C=2A-class="stub"2π
3

∴2cos2A+cos(A-C)=2cos2A+cos(2A-class="stub"2π
3
)=cos2A+1+cos2A•(-class="stub"1
2
)+sin2A•
3
2
=
3
2
sin2A+class="stub"1
2
cos2A+1
=sin(2A+class="stub"π
6
)+1.
∵0<A<class="stub"2π
3
,∴class="stub"π
6
<2A+class="stub"π
6
class="stub"3π
2
,∴-1<sin(2A+class="stub"π
6
)≤1,0<sin(2A+class="stub"π
6
)+1≤2,
即2cos2A+cos(A-C)的范围是(0,2].

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