首页 > 已知向量m=(-1，cosωx+3sinωx)，n=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且m⊥n，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为32π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(32

已知向量m=(-1，cosωx+3sinωx)，n=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且m⊥n，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为32π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(32

题目简介

已知向量m=(-1，cosωx+3sinωx)，n=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且m⊥n，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为32π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(32

题目详情

已知向量
m
=(-1，cosωx+
3
sinωx)，
n
=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且
m
⊥
n
，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为
3
2
π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
，求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由题意得
m
•
n
=0，
所以，f(x)=cosωx•(cosωx+
3
sinωx)=class="stub"1+cos2ωx
2
+
3
sin2ωx
2
=sin(2ωx+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2

根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω=class="stub"1
3


（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(class="stub"2
3
x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
所以f(class="stub"3
2
α+class="stub"π
2
)=sin(α+class="stub"π
2
)+class="stub"1
2
=cosα+class="stub"1
2
=class="stub"23
26

解得cosα=class="stub"5
13

因为α是第一象限角，故sinα=class="stub"12
13

所以
sin(α+class="stub"π
4
)
cos(π+2α)
=
sin(α+class="stub"π
4
)
-cos2α
=
2
-2(cosα-sinα)
=class="stub"13
14
2

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