设定义在R上的函数f(x)=sinnωx+cosnωx(ω>0,n∈N*)的最小正周期为T.(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.-数学

题目简介

设定义在R上的函数f(x)=sinnωx+cosnωx(ω>0,n∈N*)的最小正周期为T.(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.-数学

题目详情

设定义在R上的函数f(x)=sinnωx+cosnωx(ω>0,n∈N*)的最小正周期为T.
(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;
(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解(1)当n=1,f(1)=1时,sinω+cosω=1(ω>0),
化简得sin(ω+class="stub"π
4
)=
2
2
,…2分
因为ω>0,所以(ω+class="stub"π
4
)min=class="stub"3π
4
,即ωmin=class="stub"π
2

所以,T的最大值为8.…6分
(2)当n=4时,f(x)=sin4ωx+cos4ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)2-2sin2ωxcos2ωx
=1-2(sinωxcosωx)2
=1-class="stub"1
2
sin22ωx

=1-class="stub"1
2
(class="stub"1-cos4ωx
2
)

=class="stub"1
4
cos4ωx+class="stub"3
4
(ω>0),…10分
因为T=class="stub"2π
=4
,所以ω=class="stub"π
8
,…12分
此时,f(x)═class="stub"1
4
cosclass="stub"πx
2
+class="stub"3
4
,所以f(1)=class="stub"3
4
.…14分

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