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> 设定义在R上的函数f(x)=sinnωx+cosnωx(ω>0,n∈N*)的最小正周期为T.(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.-数学
设定义在R上的函数f(x)=sinnωx+cosnωx(ω>0,n∈N*)的最小正周期为T.(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.-数学
题目简介
设定义在R上的函数f(x)=sinnωx+cosnωx(ω>0,n∈N*)的最小正周期为T.(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.-数学
题目详情
设定义在R上的函数f(x)=sin
n
ωx+cos
n
ωx(ω>0,n∈N
*
)的最小正周期为T.
(1)若n=1,f(1)=1,求T的最大值;
(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
解(1)当n=1,f(1)=1时,sinω+cosω=1(ω>0),
化简得
sin(ω+
class="stub"π
4
)=
2
2
,…2分
因为ω>0,所以
(ω+
class="stub"π
4
)
min
=
class="stub"3π
4
,即
ω
min
=
class="stub"π
2
,
所以,T的最大值为8.…6分
(2)当n=4时,f(x)=sin4ωx+cos4ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)2-2sin2ωxcos2ωx
=1-2(sinωxcosωx)2
=
1-
class="stub"1
2
si
n
2
2ωx
=
1-
class="stub"1
2
(
class="stub"1-cos4ωx
2
)
=
class="stub"1
4
cos4ωx+
class="stub"3
4
(ω>0),…10分
因为
T=
class="stub"2π
4ω
=4
,所以
ω=
class="stub"π
8
,…12分
此时,
f(x)═
class="stub"1
4
cos
class="stub"πx
2
+
class="stub"3
4
,所以
f(1)=
class="stub"3
4
.…14分
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(2)若n=4,T=4,求f(1)的值.
答案
化简得sin(ω+
因为ω>0,所以(ω+
所以,T的最大值为8.…6分
(2)当n=4时,f(x)=sin4ωx+cos4ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)2-2sin2ωxcos2ωx
=1-2(sinωxcosωx)2
=1-
=1-
=
因为T=
此时,f(x)═