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已知a，b都是正数，求证：2aba+b≤a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时等号成立．-数学

题目简介

已知a，b都是正数，求证：2aba+b≤a+b2≤a2+b22，当且仅当a=b时等号成立．-数学

题目详情

已知a，b都是正数，求证：
2ab
a+b
≤
a+b
2
≤
a2+b2
2
，当且仅当a=b时等号成立．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：因为a＞0，b＞0
class="stub"2ab
a+b
-class="stub"a+b
2
=
4ab-a2-2ab-b2
2(a+b)
=-
(a-b)2
2(a+b)
≤0⇒class="stub"2ab
a+b
≤class="stub"a+b
2
，
当且仅当a=b时取等号．（5分）(class="stub"a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2=
a2+2ab+b2
4
-
a2+b2
2
=
-a2+2ab-b2
4
=-
(a-b)2
4
⇒(class="stub"a+b
2
)2-(
a2+b2
2
)2≤0⇒(class="stub"a+b
2
)2≤(
a2+b2
2
)2⇒class="stub"a+b
2
≤
a2+b2
2
，
当且仅当a=b时取等号．（11分）
综上知：class="stub"2ab
a+b
≤class="stub"a+b
2
≤
a2+b2
2
，当且仅当a=b时等号成立．（12分）

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