首页 > 已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，求实数a的取值范围．

题目简介

已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，求实数a的取值范围．

题目详情

已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．
（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥
x2-2x+1
ex
恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe-x+（x-2）ex-2，f（x）的定义域为R，
f′（x）=e-x-xe-x+ex-2+（x-2）ex-2=（x-1）（ex-2-e-x）=e-x（x-1）（ex-1-1）（ex-1+1）．
当x≥1时，x-1≥0，ex-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
当x＜1时，x-1＜0，ex-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以对任意实数x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函数；  
（II）当x≥1时，f（x）≥
x2-2x+1
ex
恒成立，即（x-2）e2x-a-x2+3x-1≥0恒成立，
设h（x）=（x-2）e2x-a-x2+3x-1（x≥1），则h′（x）=（2x-3）（e2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e2x-a-1）=0，解得x1=class="stub"3
2
，x2=class="stub"a
2
，
（1）当1＜class="stub"a
2
＜class="stub"3
2
，即2＜a＜3时，
x（1，class="stub"a
2
）		class="stub"a
2
（class="stub"a
2
，class="stub"3
2
）		class="stub"3
2
（class="stub"3
2
，+∞）
h′（x）+0-0+
h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增
所以要使结论成立，则h（1）=-e2-a+1≥0，h（class="stub"3
2
）=-class="stub"1
2
e3-a+class="stub"5
4
≥0，即e2-a≤1，e3-a≤class="stub"5
2
，
解得a≥2，a≥3-lnclass="stub"5
2
，所以3-lnclass="stub"5
2
≤a＜3；
（2）当class="stub"a
2
=class="stub"3
2
，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=-e-1+1＞0，
故结论成立；                              
（3）当class="stub"a
2
＞class="stub"3
2
，即a＞3时，
x（1，class="stub"3
2
）		class="stub"3
2
（class="stub"3
2
，class="stub"a
2
）		class="stub"a
2
（class="stub"a
2
，+∞）
h′（x）+0-0+
h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增
所以要使结论成立，
则h（1）=-e2-a+1≥0，h（class="stub"a
2
）=-
a2
4
+2a-3≥0，即e2-a≤1，a2-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；                              
综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥
x2-2x+1
ex
恒成立，实数a的取值范围是3-lnclass="stub"5
2
≤a≤6．                                                    …（12分）

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