设a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)若x∈(0,+∞)时,此时函数f(x)的图象上是否存在在两点,使这两点的连线与轴平行?并说明理由.-数学

题目简介

设a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数,(1)求a的值;(2)若x∈(0,+∞)时,此时函数f(x)的图象上是否存在在两点,使这两点的连线与轴平行?并说明理由.-数学

题目详情

设a>0,f(x)=
ex
a
+
a
ex
是R上的偶函数,
(1)求a的值;
(2)若x∈(0,+∞)时,此时函数f(x)的图象上是否存在在两点,使这两点的连线与轴平行?并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(x)=
ex
a
+class="stub"a
ex
是R上的偶函数,
所以f(-x)=f(x)在R上恒成立,
所以
e-x
a
+class="stub"a
e-x
=
ex
a
+class="stub"a
ex

等价于(a-class="stub"1
a
)(ex-class="stub"1
ex
)
在R上恒成立,
所以a=1.
(2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
则有f(x2)-f(x1)=(ex2-ex1)+
ex2-ex1
ex1ex2

由于e>1,且x1<x2,
所以f(x2)>f(x1),
函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
若x∈(0,+∞)时,函数f(x)的图象上是不存在在两点,使这两点的连线与轴平行

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