(1)设x,y为正数,求(x+y)(1x+4y)的最小值,并写出取得最小值的条件.(2)设a>b>c,若1a-b+1b-c≥na-c恒成立,求n的最大值.-高二数学

题目简介

(1)设x,y为正数,求(x+y)(1x+4y)的最小值,并写出取得最小值的条件.(2)设a>b>c,若1a-b+1b-c≥na-c恒成立,求n的最大值.-高二数学

题目详情

(1)设x,y为正数,求(x+y)(
1
x
+
4
y
)
的最小值,并写出取得最小值的条件.
(2)设a>b>c,若
1
a-b
+
1
b-c
n
a-c
恒成立,求n的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵x>0,y>0
(x+y)(class="stub"1
x
+class="stub"4
y
)=1+class="stub"y
x
+class="stub"4x
y
+4
≥5+2
4
=9

当且仅当class="stub"y
x
=class="stub"4x
y
,即y=2x时取得最小值;
(2)∵a>b>c
∴a-b>0,a-c>0,b-c>0,
class="stub"1
a-b
+class="stub"1
b-c
≥class="stub"n
a-c
可化为n≤(class="stub"1
a-b
+class="stub"1
b-c
)(a-c)

t=(class="stub"1
a-b
+class="stub"1
b-c
)(a-c)

=(class="stub"1
a-b
+class="stub"1
b-c
)[(a-b)+(b-c)]

=1+class="stub"b-c
a-b
+class="stub"a-b
b-c
+1≥2+2=4

当且仅当class="stub"b-c
a-b
=class="stub"a-b
b-c
,即2b=a+c时等号成立.
∴n≤4,
∴n的最大值是4.

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