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已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．（1）求f（x）的表达式．（2）设F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大

题目简介

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．（1）求f（x）的表达式．（2）设F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大

题目详情

已知二次函数y=f（x）的图象经过原点，且f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的表达式．
（2）设F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）图象经过原点，∴设f（x）=ax2+bx（a≠0），
∵f（x-1）=f（x）+x-1，
∴a（x-1）2+b（x-1）=ax2+bx+x-1，即ax2-（2a-b）x+a-b=ax2+（b+1）x-1，
∴
-(2a-b)=b+1
a-b=-1
，解得a=-class="stub"1
2
，b=class="stub"1
2
．
∴f(x)=-class="stub"1
2
x2+class="stub"1
2
x．
（2）由F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a2x+2ax-1，
①当a＞1时，令t=ax，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[class="stub"1
a
，a]，
∴g（t）=t2+2t-1=（t+1）2-2，t∈[class="stub"1
a
，a]，
∵对称轴t=-1，∴g（t）在[class="stub"1
a
，a]上是增函数．
∴g（a）=a2+2a-1=14，∴a2+2a-15=0，解得a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，
令u=ax，∵x∈[-1，1]，∴u∈[a，class="stub"1
a
]，
∴g（u）=u2+2u-1=（u+1）2-2，u∈[a，class="stub"1
a
]，
∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，class="stub"1
a
]上是增函数．
∴g(class="stub"1
a
)=(class="stub"1
a
)2+class="stub"2
a
-1=14，∴class="stub"1
a
=3，class="stub"1
a
=-5（舍），∴a=class="stub"1
3
，
综上a=class="stub"1
3
或a=3．

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