设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x2+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d1，二次函数y=-x2+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2，如果d1≥d

题目简介

设m、n为正整数，且m≠2，二次函数y=x²+（3-mt）x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d₁，二次函数y=-x²+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d₂，如果d₁≥d₂对一切实数t恒成立，求m、n的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

设二次函数y=x2+（3-mt）x-3m的图象与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），
二次函数y=-x2+（2t-n）x+2nt的图象与x轴的两个交点分别为（x3，0），（x4，0），
则d1=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

(mt-3)2+12mt

，
d2=|x3-x4| =

(x3+x4)2-4x3x4

(n-2t)2+8nt

．
∵d1≥d2对一切实数t恒成立，
∴（mt-3）2+12mt≥（n-2t）2+8nt对一切实数t恒成立，
即（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0对一切实数t恒成立，
∴

m2-4＞0

△=(6m-4n)2-4(m2-4)(9-n2)≤0

，
∴

m2＞4

(mn-6)2≤0

，
又∵m、n为正整数，
∴m=3，n=2或m=6，n=1．…（14分）