已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有f(a)+f(b)a+b＞0．（1）证明函数a=1在f（x）=-x2+x+lnx上是增函数；（2）

题目简介

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明函数a=1在f（x）=-x²+x+lnx上是增函数；
（2）解不等式：f（

x-1

）＞0，x∈（0，+∞）；
（3）若f′(x)=-2x+1+

2x2-x-1

对所有f'（x）=0，任意x=-

恒成立，求实数x=1的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设-1≤x1＜x2≤1
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）．
又x1＜x2，∴x2+（-x1）=x2-x1＞0，由题设有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∴f（x2）+f（-x1）＞0即f（x2）＞f（x1）∴f（x）在[-1，1]上是增函数
（2）由（1）知：f(class="stub"1

x-1

)＞0⇔f(0)＜f(class="stub"1

x-1

)
⇔

-1≤class="stub"1

x-1

≤1

0＜class="stub"1

x-1

⇔x＞1
∴原不等式的解集为x＞1．
（3）由（1）知f（x）≤m2-2pm+1对任意x∈[-1，1]恒成立
只需1≤m2-2pm+1对p∈[-1，1]恒成立，即m2-2pm≥0对p∈[-1，1]恒成立设g（p）=m2-2mp，则

g(-1)≥0

g(1)≥0

⇔

m2+2m≥0

m2-2m≥0

解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．