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> 设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;(2)求函数f(x)的最小值.-数学
设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;(2)求函数f(x)的最小值.-数学
题目简介
设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;(2)求函数f(x)的最小值.-数学
题目详情
设a为常数,a∈R,函数f(x)=x
2
+|x-a|+1,x∈R.
(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的最小值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)∵函数f(x)为偶函数,∴对任意的x∈R都有f(-x)=f(x),
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|,
也就是(x+a)2=(x-a)2对任意的x∈R成立,故4ax=0恒成立,可得a=0.
(2)①当x≤a时,
f(x)=
x
2
-x+(1+a)=(x-
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2
)
2
+(
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4
+a)
.
若
a≤
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2
,则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
若
a>
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2
,则函数f(x)在
(-∞,
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2
]
上单调递减,在
(
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2
,a]
上单调递增.
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为
f(
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2
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4
+a
.
②当x>a时,
f(x)=
x
2
+x+(1-a)=(x+
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2
)
2
+(
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4
-a)
.
若
a≤-
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2
,则函数f(x)在
[a,-
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2
]
上单调递减,在
(-
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2
,+∞)
单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为
f(-
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2
)=
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4
-a
.
若
a>-
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2
,则函数f(x)在[a,+∞)单调递增.
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上所述,可得
当
a≤-
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2
时,函数f(x)的最小值是
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4
-a
;当
-
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2
<a≤
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2
时,函数f(x)的最小值是a2+1;
当
a>
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2
时,函数f(x)的最小值是
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4
+a
.
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对a、b∈R,记max(a,b)=a(a≥b)b(
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设a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;(2)求函数f(x)的最小值.-数学
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(1)若函数f(x)是偶函数,求实数a的值;
(2)求函数f(x)的最小值.
答案
即(-x)2+|-x-a|+1=x2+|x-a|+1,对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|,
也就是(x+a)2=(x-a)2对任意的x∈R成立,故4ax=0恒成立,可得a=0.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+(1+a)=(x-
若a≤
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.
若a>
所以函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
②当x>a时,f(x)=x2+x+(1-a)=(x+
若a≤-
所以函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(-
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