首页 > 定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（

定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（

题目简介

定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（

题目详情

定义在R上的函数f(x)=
x+b
ax2+1
（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵R上的函数f(x)=class="stub"x+b
ax2+1
（a，b∈R且a≠0）是奇函数
∴f（0）=0，解得b=0
∴f(x)=class="stub"x
ax2+1

∴f′（x）=
ax2+1-x×2ax
(ax2+1)2
=
-ax2+1
(ax2+1)2

∵当x=1时，f（x）取得最大值
∴f′（1）=class="stub"-a +1
(a+1)2
=0
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=class="stub"x
x2+1
，f′（x）=
-x2+1
(x2+1)2

∴f′（x0）=
-x02+1
(x02+1)2

∴曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l为：y-
x0
x02+1
=
-x02+1
(x02+1)2
×(x-x0)
令x=0，则y=
x0
x02+1
+
-x02+1
(x02+1)2
×(0-x0)
∴t=
2x03
(x02+1)2

∴t′=
2x02(x02+1)(3-x02)
(x02+1)4

由t′＞0，可得3-x0 2＜0，解得-
3
＜x0＜
3
；
由t′＜0，可解得x0＜-
3
，x0＞
3

∴函数在[-
3
，
3
]上单调增，在（-∞，-
3
），（
3
，+∞）上单调减
∵x0＞0，t＞0；x0＜0，t＜0
∴x0=-
3
时，tmin=-
3
3
8
；x0=
3
时，tmax=
3
3
8

∴实数t的取值范围是[-
3
3
8
， 
3
3
8
]．

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