首页 > 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，π2]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，π2]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4

题目简介

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，π2]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4

题目详情

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．
（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，
π
2
]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，
由题意知f（x1-x2）＜0，
则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是增函数（6分）
（II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-class="stub"4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)＞0，
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-class="stub"4
sinθ+cosθ
]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-class="stub"4
sinθ+cosθ
＞-3-2m（8分）
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵θ∈[0，class="stub"π
2
]，∴t=
2
sin(θ+class="stub"π
4
)∈[1，
2
]，
原命题等价于t2-1-(m+2)t-class="stub"4
t
+3+2m＞0对t∈[1，
2
]恒成立．（10分）
∴(2-t)m＞2t-t2+class="stub"4
t
-2，
即m＞
t(2-t)+class="stub"2
t
(2-t)
2-t
=t+class="stub"2
t
令g(t)=t+class="stub"2
t
，则g′(t)=1-class="stub"2
t2
，

当t∈[1，
2
]时，g′(t)＜0，
故g(t)在[1，
2
]上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．（12分）

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