已知函数f(x)=xm+2x且f(4)=92.(I)求m的值;(II)判定f(x)的奇偶性;(III)证明f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=xm+2x且f(4)=92.(I)求m的值;(II)判定f(x)的奇偶性;(III)证明f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=xm+
2
x
f(4)=
9
2

(I)求m的值;
(II)判定f(x)的奇偶性;
(III)证明f(x)在[
2
,+∞)
上是单调递增函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(4)=class="stub"9
2

∴f(4)=4m+class="stub"2
4
=class="stub"9
2

∴4m=4,m=1…4
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=x+class="stub"2
x

∵f(x)的定义域为{x|x≠0},…5
又f(-x)=-x-class="stub"2
x
=-(x+class="stub"2
x
)=-f(x),
∴f(x)是奇函数…8
(Ⅲ)设
2
≤x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=x1+class="stub"2
x1
-(x2+class="stub"2
x2
)=(x1-x2)(1-class="stub"2 
x1x2
)=(x1-x2)
(x1x2-2)
x1x2
…11
2
≤x1<x2,
∴x1-x2<0,x1x2>2,
(x1x2-2)
x1x2
>0,…13
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[
2
,+∞)
上是单调递增函数.

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