已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,函数g(

题目简介

已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,函数g(

题目详情

已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,函数g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]
在区间(2,3)上总存在极值?
(3)当a=2时,设函数g(x)=(ρ-2)x+
ρ+2
x
-3
,若对任意地x∈[1,2],f(x)≥g(x)恒成立,求实数p的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=class="stub"a
x
-a(x>0)

(1)当a=1时,f(x)=class="stub"1
x
-1=class="stub"1-x
x

令f′(x)>0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递增;
令f′(x)<0时,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)递减.
(2)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,f(x)=class="stub"-2
x
+2

g(x)=x3+x2[class="stub"m
2
+2-class="stub"2
x
]=x3+(class="stub"m
2
+2)x2-2x
,g′(x)=3x2+(4+m)x-2,
因为对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[class="stub"m
2
+f′(x)]
在区间(t,3)上,
总存在极值,所以只需
g(2)<0
g(3)>0
,解得-class="stub"37
3
<m<-9

(3)设F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-class="stub"p+2
x
F(x)=class="stub"2
x
-p+class="stub"p+2
x2
=
-px2+2x+(p+2)
x2
=
-p(x+1)(x-class="stub"p+2
p
)
x2

当ρ=-1时,F(x)=class="stub"2x+2
x2
>0
,∴F(x)在[1,2]递增,所以F(1)=4>0成立;
1+class="stub"2
p
<-1,即-1<p<0
时,不成立,(舍)
-1<1+class="stub"2
p
≤1,即p<-1
时,F(x)在[1,2]递增,所以F(1)=-2p-2≥0,解得ρ≤-1
所以,此时ρ<-1和ρ=-1时,F(x)在[1,2]递增,成立;ρ>-1时,均不成立.
综上,ρ≤-1

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