首页 > 将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．②函数y=f（

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．②函数y=f（

题目简介

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．②函数y=f（

题目详情

将奇函数的图象关于原点（即（0，0））对称这一性质进行拓广，有下面的结论：
①函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称．
②函数y=f（x）满足F（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数的充要条件是y=f（x）的图象关于点（a，f（a））成中心对称（注：若a不属于x的定义域时，则f（a）不存在）．
利用上述结论完成下列各题：
（1）写出函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标，并加以证明．
（2）已知m（m≠-1）为实数，试问函数f(x)=
x+m
x-1
的图象是否关于某一点成中心对称？若是，求出对称中心的坐标并说明理由；若不是，请说明理由．
（3）若函数f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4的图象关于点(
2
3
，f(
2
3
))成中心对称，求t的值．
题型：解答题难度：中档来源：卢湾区一模

答案

（1）函数f（x）=tanx的图象的对称中心的坐标为(class="stub"kπ
2
，0)（k∈N*）．    …（2分）
当k=2n（n∈N*）时，tan(class="stub"kπ
2
+x)+tan(class="stub"kπ
2
-x)=tanx-tanx=0；
当k=2n+1（n∈N*）时，tan(class="stub"kπ
2
+x)+tan(class="stub"kπ
2
-x)=-cotx+cotx=0，得证．                   …（6分）
（2）由f(x)=class="stub"x+m
x-1
=1+class="stub"m+1
x-1
，得f（x）的图象的对称中心的坐标为（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=class="stub"x+1+m
x+1-1
+class="stub"1-x+m
1-x-1
=class="stub"x+1+m
x
+class="stub"-x+1+m
-x
=2，由结论①得，对实数m（m≠-1），函数f(x)=class="stub"x+m
x-1
的图象关于点（1，1）成中心对称．   …（12分）
（3）由结论②F(x)=f(x+class="stub"2
3
)-f(class="stub"2
3
)=x(|x+class="stub"2
3
+t|+|x-class="stub"7
3
|)为奇函数，…（14分）
其中g（x）=x为奇函数，故h(x)=|x+class="stub"2
3
+t|+|x-class="stub"7
3
|为偶函数
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+class="stub"2
3
+t|+|x-class="stub"7
3
|=|x-(class="stub"2
3
+t)|+|x+class="stub"7
3
|，…（16分）
因此，class="stub"2
3
+t=class="stub"7
3
，解得t=class="stub"5
3
为所求．                                 …（18分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网