首页 > 关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.（1）求f（α）和f（β）的值．（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．（3）对任意正数x1．x2，求证：

关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.（1）求f（α）和f（β）的值．（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．（3）对任意正数x1．x2，求证：

题目简介

关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=4x-tx2+1.（1）求f（α）和f（β）的值．（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．（3）对任意正数x1．x2，求证：

题目详情

关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α＜β），函数f（x）=
4x-t
x2+1
.
（1）求f（α）和f（β）的值．
（2）证明：f（x）在[α，β]上是增函数．
（3）对任意正数x1．x2，求证：|f(
x1α+x2β
x1+x2
)-f(
x1β+x2α
x1+x2
)|＜2|α-β|（文科不做）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由根与系数的关系得，α+β=class="stub"t
2
，αβ=-1.
∴f(α)=class="stub"4α-t
α2+1
=
4α-2(α+β)
α2-αβ
=class="stub"2
α
=class="stub"8
t-
t2+16
=-class="stub"1
2
(t+
t2+16
).
同法得f（β)=class="stub"1
2
(
t2+16
-t).（4分）（文科7分）
（2）证明：∵f/（x）=
4(x2+1)-(4x-t)2x
(x2+1)2
=
-2(2x2-tx-2)
(x2+1)2
，而当x∈[α，β]时，
2x2-tx-2=2（x-α）（x-β）≤0，
故当x∈[α，β]时，f/（x）≥0，
∴函数f（x）在[α，β]上是增函数．（9分）（文科14分）
（3）证明：
x1α+x2β
x1+x2
-α=
x2(β-α)
x1+x2
＞0，
x1α+x2β
x1+x2
-β=
x1(α-β)
x1+x2
＜0，
∴α＜
x1α+x2β
x1+x2
＜β，
同理α＜
x1β+x2α
x1+x2
＜β．
∴f(α)＜f(
x1β+x2α
x1+x2
)＜f(β)，故-f(β)＜-f(
x1β+x2α
x1+x2
)＜-f(α).（11分）
又f（α)＜f(
x1α+x2β
x1+x2
)＜f(β).两式相加得：-[f(β)-f(α)]＜f(
x1α+x2β
x1+x2
)-f(
x1β+x2α
x1+x2
)＜f(β)-f(α)，
即|f(
x1α+x2β
x1+x2
)-f(
x1β+x2α
x1+x2
)|＜f(β)-f(α).（13分）
而由（1），f（α）=-2β，f（β）=-2α且f（β）-f（α）=|f（β）-f（α）|，
∴|f(
x1α+x2β
x1+x2
)-f(
x1β+x2α
x1+x2
)|＜2|α-β|．（14分）

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