函数f(x)=-x3+3x2,设g(x)=6lnx-f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数),若曲线y=g(x)在不同两点A(x1,g(x1))、B(x2,g(x2))处的切线互相平行,且g(x

题目简介

函数f(x)=-x3+3x2,设g(x)=6lnx-f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数),若曲线y=g(x)在不同两点A(x1,g(x1))、B(x2,g(x2))处的切线互相平行,且g(x

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函数f(x)=-x3+3x2,设g(x)=6lnx-f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数),若曲线y=g(x)在不同两点A(x1,g(x1))、B(x2,g(x2))处的切线互相平行,且
g(x1)+g(x2)
x1+x2
≥m
恒成立,求实数m的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵f′(x)=-3x2+6x,∴g(x)=6lnx-f′(x)=6lnx+3x2-6x
∴g′(x)=class="stub"6
x
+6x-6
依题意有g′(x1)=g′(x2)且x1≠x2,
class="stub"6
x1
+6x1-6=class="stub"6
x2
+6x2-6
∴x1x2=1
g(x1)+g(x2)
x1+x2
=
6ln(x1x2)+3
(x21
+x22
)-6(x1+x2)
x1+x2
=
3
(x 1
+x 2
)2-6(x1+x2)-6
x1+x2

=3(x1+x2)-class="stub"6
x1+x2
-6
令x1+x2=t,则t>2,∵φ(t)=3t-class="stub"6
t
-6在(2,+∞)上单调递增
∴φ(t)>φ(2)=-3
g(x1)+g(x2)
x1+x2
>-3
∴m≤-3
∴实数m的最大值为-3.

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