已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．-数学

题目简介

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故f(-x)=

2-x

2-x+1

=class="stub"1

2x+1

，
又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-class="stub"1

2x+1

，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=

2x+1

，0＜x＜1

0，x=0

-class="stub"1

1+2x

，-1＜x＜0

．
（2）f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则f(x2)-f(x1)=

2x2

1+2x2

2x1

1+2x1

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为y=2x在x∈R上递增，且0＜x1＜x2，
所以2x2-2x1＞0，
因此f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（0，1）上单调递增．