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（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（I）求b．（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数

题目简介

（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（I）求b．（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数

题目详情

（理）已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（III）讨论函数h（x）=ln（1+x2）-
1
2
f（x）-k的零点个数？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）2+bsin（-x）-2=x2+bsinx-2
∴b=0． 
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx
∴g′(x)=2x+2+class="stub"a
x
(x＞0)
依题意，2x+2+class="stub"a
x
≥0或2x+2+class="stub"a
x
≤0在（0，1）上恒成立
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+class="stub"1
2
)2+class="stub"1
2
在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+class="stub"1
2
)2+class="stub"1
2
在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III）h(x)=ln(1+x2)-class="stub"1
2
x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-class="stub"1
2
x2+1．
所以y′=class="stub"2x
1+x2
-x=-
(x+1)x(x-1)
x2+1

令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：
x（-∞，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，+∞）
y′+0-0+0-
h（x）单调递增极大值
ln2+class="stub"1
2
单调递减极小值1单调递增极大值
ln2+class="stub"1
2
单调递减
所以当k＞ln2+class="stub"1
2
时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+class="stub"1
2
时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当1＜k＜ln2+class="stub"1
2
时，函数有四个零点．

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