已知函数f(x)=exx2+x+1-3e249(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数).(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若在[2,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成

题目简介

已知函数f(x)=exx2+x+1-3e249(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数).(I)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若在[2,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成

题目详情

已知函数f(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
(e是自然对数的底数),g(x)=ax(a是实数).
(I)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若在[2,+∞)上至少存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵f(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
f′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2

f′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
>0
,解得x<0或x>1
f′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
<0
,解得0<x<1
函数f(x)的单调递增区间为:(-∞,0)和(1,+∞)
函数f(x)的单调递减区间为:(0,1)
(Ⅱ)考察反面情况:∀x∈[2,+∞),f(x)≥g(x)恒成立
h(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
-ax≥0
在x∈[2,+∞)上恒成立
首先h(2)=
e2
7
-
3e2
49
-2a≥0
,即a≤
2e2
49

其次,h′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
-a
考虑M(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2

M′(x)=
ex(x2+x+1)[x3(x-2)+3x2+2x-1]
(x2+x+1)4
>0
在x∈[2,+∞)上恒成立
M(x)≥M(2)=
2e2
49
∴当a≤
2e2
49
时,h′(x)=
ex(x2-x)
(x2+x+1)2
-a≥
2e2
49
-a≥0

∴h(x)在x∈[2,+∞)上递增,又h(2)≥0
h(x)=
ex
x2+x+1
-
3e2
49
-ax≥0
在x∈[2,+∞)上恒成立,故a≤
2e2
49

∴原题的结论为:a>
2e2
49

更多内容推荐