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已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．（1）证明数列{an2n}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an；（2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1

题目简介

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．（1）证明数列{an2n}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an；（2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1

题目详情

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*）．
（1）证明数列{
an
2n
}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式an；
（2）求等差数列{bn}（n∈N*），使b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1对n∈N*都成立；
（3）令cn=nbn（n∈N*），是否存在正常数M，使
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立，并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：黄浦区一模

答案

（1）∵a1=1，an+1=2an+2n（n∈N*），∴
an+1
2n+1
=
an
2n
+class="stub"1
2
，
an+1
2n+1
-
an
2n
=class="stub"1
2
．…（3分）
∴数列{
an
2n
}是以
a1
2
为首项，公差为class="stub"1
2
的等差数列，且
an
2n
=
a1
2
+class="stub"1
2
(n-1)．…（5分）
∴an=n•2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）设等差数列{bn}的首项为b1，公差为d，则bn=b1+（n-1）d（n∈N*）．…（7分）
考察等差数列，易知：b1+bn+1=b2+bn=b3+bn-1=…=bn+1+b1．
又 b1Cn0+b2Cn1+b3Cn2+…+bn+1Cnn=an+1，利用加法交换律把此等式变为bn+1Cnn+bnCnn-1+bn-1Cnn-2+…+b1Cn0=an+1，
两式相加，利用组合数的性质Cnm=Cnn-m化简，得（b1+bn+1）（Cn0+Cn1+…+Cnn）=2an+1，即b1+bn+1=2n+2．…（10分）
再分别令n=1，n=2，得
b1+b2=4
b1+b3=6
，进一步可得
b1=1
d=2
．…（11分）
因此，满足题设的等差数列{bn}的通项公式为bn=2n-1（n∈N*）．…（12分）
（3）结论：
存在正常数M（只要M＞6即可）使得
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立．（13分）
证明　由（2）知，bn=2n-1，于是，cn=n（2n-1），
cn
an
=
n(2n-1)
n•2n-1
=class="stub"2n-1
2n-1
．…（14分）
记A=
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn
an
，则A=class="stub"1
20
+class="stub"3
21
+class="stub"5
22
+…+class="stub"2n-3
2n-2
+class="stub"2n-1
2n-1
，class="stub"1
2
A=class="stub"1
21
+class="stub"3
22
+class="stub"5
23
+…+class="stub"2n-3
2n-1
+class="stub"2n-1
2n
．此两式相差，得class="stub"1
2
A=class="stub"1
20
+class="stub"2
21
+class="stub"2
22
+class="stub"2
23
+…+class="stub"2
2n-1
-class="stub"2n-1
2n
．进一步有A=6-class="stub"1
2n-3
-class="stub"2n-1
2n-1
＜6．…（18分）
所以，当且仅当正常数M＞6时，
c1
a1
+
c2
a2
+
c3
a3
+…+
cn
an
＜M对n∈N*恒成立．

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