已知函数f(x)=2sin2(π4-x)-3cos2x,(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间;(2)若f(x)<m+2在[0,π6]上恒成立,求实数m的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin2(π4-x)-3cos2x,(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间;(2)若f(x)<m+2在[0,π6]上恒成立,求实数m的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin2(
π
4
-x)-
3
cos2x

(1)求f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)若f(x)<m+2在[0,
π
6
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=2sin2(class="stub"π
4
-x)-
3
cos2x

=1-cos(class="stub"π
2
-2x)-
3
cos2x
=1-sin2x-
3
cos2x
=1-2sin(2x+class="stub"π
3
),
故最小正周期T=class="stub"2π
2
=π,
由-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
+2kπ,得-class="stub"5π
12
+kπ≤x≤class="stub"π
12
+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的最小正周期为π,单调减区间为[-class="stub"5π
12
+kπ,class="stub"π
12
+kπ](k∈Z).
(2)x∈[0,class="stub"π
6
],则2x+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
3
class="stub"2π
3
],则sin(2x+class="stub"π
3
)∈[
3
2
,1],
则f(x)∈[-1,1-
3
],即f(x)在[0,class="stub"π
6
]
上的值域为[-1,1-
3
].
因为f(x)<m+2在[0,class="stub"π
6
]
上恒成立,所以m+2>1-
3

解得m>-1-
3

所以实数m的取值范围为(-1-
3
,+∞).

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