首页 > 设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(12，1)内的零点；（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(12

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(12，1)内的零点；（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(12

题目简介

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(12，1)内的零点；（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(12

题目详情

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(
1
2
，1)内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
1
2
，1)内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：崇明县一模

答案

（1）f2(x)=x2+x-1，
令f2（x）=0，得x=
-1±
5
2
，
所以f2（x）在区间（class="stub"1
2
，1）内的零点是x=
-1+
5
2
．
（2）证明：因为 fn(class="stub"1
2
)＜0，fn（1）＞0．
所以fn(class="stub"1
2
)•fn（1）＜0．
所以fn（x）在(class="stub"1
2
，1)内存在零点．
任取x1，x2∈（class="stub"1
2
，1），且x1＜x2，
则fn（x1）-fn（x2）=（x1n-x2n）+（x1-x2）＜0，
所以fn（x）在(class="stub"1
2
，1)内单调递增，
所以fn（x）在(class="stub"1
2
，1)内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c．
对任意x1，x2∈[-1，1]都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，
等价于f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．
据此分类讨论如下：
①当|class="stub"b
2
|＞1，即|b|＞2时，M=|f2（1）-f2（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
②当-1≤-class="stub"b
2
＜0，即0＜b≤2时，M=f2（1）-f2（-class="stub"b
2
）=（class="stub"b
2
+1）2≤4恒成立．
③当0≤-class="stub"b
2
≤1，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-f2（-class="stub"b
2
）=（class="stub"b
2
-1）2≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．

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