首页 > 对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数

题目简介

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数

题目详情

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；
②存在区间[a，b]⊆3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x3符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数g（x）=
3
4
x+
1
x
，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；
（3）若函数φ（x）=k+
x+2
是闭函数，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵y=-x3是[a，b]上的减函数，
∴
f(a)=-a3=b
f(b)=-b3=a.

∴class="stub"b
a
=
-a3
-b3
=(class="stub"a
b
)3．
∴（class="stub"a
b
)4=1，∴class="stub"a
b
=±1
又∵-a3=b，∴
a=-1
b=1
．
∴所求区间为[-1，1]．
（2）∵g′（x）=class="stub"3
4
-class="stub"1
x2
，x∈（0，+∞），
令g′（x）=class="stub"3
4
-class="stub"1
x2
＞0，得x＞
2
3
3
，
∴x＞
2
3
3
时，g（x）为（
2
3
3
，+∞）上的增函数．
令g′（x）=class="stub"3
4
-class="stub"1
x2
＜0，得0＜x＜
2
3
3

∴g（x）为（0，
2
3
3
）上的减函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的单调函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函数．
设φ（x）=k+
x+2
满足条件②的区间是[a，b]，
∴
ϕ(a)=k+
a+2
=a
ϕ(b)=k+
b+2
=b.

即a，b是方程x=k+
x+2
的两个不等实根．
也就是方程组
x2-(2k+1)x+(k2-2)=0
x≥-2
x≥k
有两个不等实根a，b．
①当k≤-2时，方程x2-（2k+1）+（k2-2）=0在[-2，+∞）上有两个不等实根．
∴
class="stub"2k+1
2
＞-2
△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0
(-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得：-class="stub"9
4
＜k≤-2．
②当k＞-2时，方程x2-（2k+1）x+（k2-2）=0在[k，+∞）上有两个不等实根．
∴
class="stub"2k+1
2
＞k
△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0
k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得：-class="stub"9
4
＜k≤-2，与条件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+
x+2
是闭函数，实数k的取值范围是-class="stub"9
4
＜k≤-2．

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