已知函数f(x)=1a-1x(a≠0,x≠0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;(3)若关于t(t≠0)的方程f(1t2)=

题目简介

已知函数f(x)=1a-1x(a≠0,x≠0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;(3)若关于t(t≠0)的方程f(1t2)=

题目详情

已知函数f(x)=
1
a
-
1
x
(a≠0,x≠0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)设F(x)=f(x)-a,且F(x)为奇函数,求a的值;
(3)若关于t(t≠0)的方程f(
1
t2
)=t4+1
有实数解,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:任取x1>x2>0,
f(x1)-f(x2)=(class="stub"1
a
-class="stub"1
x1
)-(class="stub"1
a
-class="stub"1
x2
)=class="stub"1
x2
-class="stub"1
x1
=
x1-x2
x1x2
  …(1分)
∵x1>x2>0,∴x1x2>0,x1-x2>0,…(3分)
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故f(x)在(0,+∞)上是增函数             …(5分)
(2)可得F(x)=f(x)-a=class="stub"1
a
-class="stub"1
x
-a
…(6分)
F(-x)=class="stub"1
a
+class="stub"1
x
-a
,又因为F(-x)为奇函数,
所以 F(-x)+F(x)=class="stub"2
a
-2a=0
…(8分)
解得 a=1或 a=-1…(10分)
(3)由f(class="stub"1
t2
)=t4+1
得:t4+t2+1-class="stub"1
a
=0
,令 m=t2,(m>0)…(12分)
所以本题等价于关于m的方程 m2+m+1-class="stub"1
a
=0
有正数解.   …(14分)
F(m)=m2+m+1-class="stub"1
a
,其对称轴为 m=-class="stub"1
2

∴F(m)在区间(-class="stub"1
2
,+∞)
为增函数,
所以有 F(0)=1-class="stub"1
a
<0
,解得0<a<1…(16分)

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