首页 > 已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（3）当t≥1时，不等式f（3t-

已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（3）当t≥1时，不等式f（3t-

题目简介

已知函数f（x）=x2+2x+alnx．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（3）当t≥1时，不等式f（3t-

题目详情

已知函数f（x）=x2+2x+alnx．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当t≥1时，不等式f（3t-2）≥3f（t）-6恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意得，f′(x)=2x+2+class="stub"a
x
，
∴f′（1）=4+a，且f（1）=3，
∴过点（1，f（1））的切线方程为y-3=（4+a）（x-1），
即（4+a）x-y-a-1=0，
（2）由f（x）在区间（0，2]上恒为单调函数得，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调增时，
∴f′(x)=2x+2+class="stub"a
x
≥0在（0，2]恒成立，
即2x2+2x+a≥0，∴-a≤2x2+2x，
∵2x2+2x在（0，2]上最小值为0，
∴-a≤0，即a≥0，
当f（x）在区间（0，2]上恒为单调减时，
∴f′(x)=2x+2+class="stub"a
x
≤0在（0，2]恒成立，
即2x2+2x+a≤0，∴-a≥2x2+2x，
∵2x2+2x在（0，2]上最小值为12，
∴-a≥12，即a≤-12．
综上得，实数a的取值范围是a≥0或a≤-12．     
（3）由题意令：h（t）=f（3t-2）-[3f（t）-6]（t≥1），
又∵h′(t)=3[f′(3t-2)-f′(t)]=6(t-1)[2-class="stub"a
t(3t-2)
]（t≥1），
∵t≥1，∴t（3t-2）≥1．
1°当a≤2时，2-class="stub"a
t(3t-2)
≥0，h′（t）≥0（等号不恒成立），
∴h（t）在[1，+∞）上为增函数，
且h（1）=f（1）-[3f（1）-6]=3-3=0，
则h（t）≥h（1）对任意的t∈[1，+∞）恒成立．
2°当a＞2时，
h′(t)=
6(t-1)(6t2-4t-a)
t(3t-2)
=
36(t-1)(t-
1-
1+9a
3
)(t-
1+
1+9a
3
)
t(3t-2)
，
∵
1-
1+9a
3
＜1＜
1+
1+9a
3
，
∴当t∈(1，
1+
1+9a
3
)时，h′（t）＜0，
h（t）在(1，
1+
1+9a
3
)上为减函数，
则h（t）＜h（1）=0，不合题意，舍去．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]．

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