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已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．-数学

题目简介

已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．-数学

题目详情

已知函数f（x）=x3-3a|x-1|，
（1）当a=1时，试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[0，+∞）内的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（1）当a=1时，f（x）=x3-3|x-1|，（2分）
此时f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函数．（5分）
（2）当0≤x＜1时，f（x）=x3-3a（1-x）=x3+3ax-3a，
当x≥1时，f（x）=x3-3a（x-1）=x3-3ax+3a
∴f(x)=
x3+3ax-3a
 (0≤x＜1)& 
x3-3ax+3a
 (x≥1)& 
，（7分）
（i）当0≤x＜1时，f'（x）=3x2+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）内单调递增，此时[f（x）]min=f（0）=-3a（9分）
（ii）当x≥1时，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-
a
)(x+
a
)，
令f'（x）=0，可得两极值点x=-
a
或x=
a
，
①若0＜a≤1，则
a
≤1，可得f（x）在[1，+∞）内单调递增，
结合（i）、（ii）可得此时[f（x）]min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，则
a
＞1，可得f（x）在[1，
a
)内单调递减，(
a
，+∞)内单调递增，
∴f（x）在[1，+∞）内有极小值f(
a
)=(
a
)3-3a
a
+3a=-2a
a
+3a，
此时[f(x)]min=min{f(0)，f(
a
)}
而f(
a
)-f(0)=-2a
a
+3a-(-3a)=-2a
a
+6a=-2a(
a
-3)
可得1＜a≤9时，f(
a
)≥f(0)，a＞9时，f(
a
)＜f(0)（14分）
∴综合①②可得，当0＜a≤9时，[f（x）]min=f（0）=-3a，
当a＞9时，[f(x)]min=f(
a
)=-2a
a
+3a（15分）

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