首页 > 已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a2-1，求a的取值范围．-数学

已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a2-1，求a的取值范围．-数学

题目简介

已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a2-1，求a的取值范围．-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1
3
x3-2ax2+3a2x-1(a＞1)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a2-1，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：衢州一模

答案

（Ⅰ）f′（x）=x2-4ax+3a2=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=class="stub"4
3
a2-1，
令class="stub"4
3
a2-1≤2a2-1⇒a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a2-8a+class="stub"5
3
，
令6a2-8a+class="stub"5
3
≤2a2-1⇒3a2-6a+2≤0⇒1-
6
3
＜a＜1+
6
3
，
又a＞2，所以无解．
由上可知1＜a≤2．

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