首页 > 已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=f(x)x，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．

已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=f(x)x，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．

题目简介

已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=f(x)x，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．

题目详情

已知二次函数f（x）=x2-ax+c，（其中c＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=
f(x)
x
，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），…（2分）
即（-x）2+ax+c=x2-ax+c，
即2ax=0恒成立                         …（3分）
∴a=0                                                                           …（4分）
（2）由（1），若f（x）为偶函数，则a=0，
∴g(x)=
f(x)
x
=
x2+c
x
=x+class="stub"c
x
，x∈（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，g（x）在x∈（0，
c
）上单调递减，在x∈（
c
，+∞）上单调递增，证明如下：…（5分）
设任意x1，x2∈（0，
c
），且x1＜x2，
g（x1）-g（x2）=（x1+class="stub"c
x1
）-（x2+class="stub"c
x2
）=（x1-x2）+（class="stub"c
x1
-class="stub"c
x2
）=（x1-x2）(
x1•x2-c
x1•x2
)         …（7分）
∵x1，x2∈（0，
c
），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＜c
即x1•x2-c＜0
∴（x1-x2）(
x1•x2-c
x1•x2
)＞0，
即g（x1）-g（x2）＞0
即g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，
c
）上单调递减                                                       …（9分）
同理，可得g（x）在（
c
，+∞）上单调递增                                             …（10分）

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