设函数f(x)=4x2+4x,(1)用定义证明:函数f(x)是R上的增函数;(2)证明:对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1;(3)求值:f(12012)+f(22012)+f(32012)

题目简介

设函数f(x)=4x2+4x,(1)用定义证明:函数f(x)是R上的增函数;(2)证明:对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1;(3)求值:f(12012)+f(22012)+f(32012)

题目详情

设函数f(x)=
4x
2+4x

(1)用定义证明:函数f(x)是R上的增函数;
(2)证明:对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1;
(3)求值:f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+f(
3
2012
)+
+f(
2011
2012
)
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)证明:设任意x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
4x1
2+4x1
-
4x2
2+4x2
=
2(4x1-4x2)
(2+4x1)(2+4x2)

∵x1<x2,
4x14x2,∴4x1-4x2<0
2+4x1>0,2+4x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),…(4分)
∴f(x)在R上是增函数                                   …(6分)
(2)对任意t,f(t)+f(1-t)=
4t
2+4t
-
4t-1
2+4t-1
=
4t
2+4t
-class="stub"4
24t+4
=
2+4t
2+4t
=1.
∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1                                 …(10分)
(3)∵由(2)得f(t)+f(1-t)=1
f(class="stub"1
2012
)+f(class="stub"2011
2012
)=1
f(class="stub"2
2012
)+f(class="stub"2010
2012
)=1

f(class="stub"1
2012
)+f(class="stub"2
2012
)+f(class="stub"3
2012
)+…+f(class="stub"2011
2012
)
+f(class="stub"2011
2012
)+f(class="stub"2010
2012
)+f(class="stub"2009
2012
)+…+f(class="stub"1
2012
)
=2011,
f(class="stub"1
2012
)+f(class="stub"2
2012
)+f(class="stub"3
2012
)+…+f(class="stub"2011
2012
)
=class="stub"2011
2
…(14分)

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