已知函数f(x)=xm-2x,且f(2)=1.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并给予证明.-数学

题目简介

已知函数f(x)=xm-2x,且f(2)=1.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并给予证明.-数学

题目详情

已知函数f(x)=xm-
2
x
,且f(2)=1.
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性并给予证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为f(2)=1,即2m-class="stub"2
2
=1
,解得m=1.
(2)函数f(x)为奇函数.
函数f(x)=x-class="stub"2
x
的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
又因为f(-x)=-x-class="stub"2
-x
=-(x-class="stub"2
x
)=-f(x)

所以f(x)是奇函数.
(3)设x1<x2<0,
f(x1)-f(x2)=x1-class="stub"2
x1
-(x2-class="stub"2
x2
)
=x1-x2-(class="stub"2
x1
-class="stub"2
x2
)=(x1-x2)(1+class="stub"2
x1x2
)

因为x1<x2<0,所以x1-x2<0,1+class="stub"2
x1x2
>0

所以f(x1)<f(x2),
因此f(x)在(-∞,0)上为单调增函数.

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