首页 > 已知函数f（x）=x2+ax+b（其中a，b∈R），（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求b-5a-2的取值范围；（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；（3）

已知函数f（x）=x2+ax+b（其中a，b∈R），（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求b-5a-2的取值范围；（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；（3）

题目简介

已知函数f（x）=x2+ax+b（其中a，b∈R），（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求b-5a-2的取值范围；（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；（3）

题目详情

已知函数f（x）=x2+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若当x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求
b-5
a-2
的取值范围；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）无零点的概率；
（3）若对于任意的正整数k，当x=
55…5
k个5
时，都有f(x)=
55…5
2k个5
成立，则称这样f（x）是K2函数，现有函数g(x)=
14
5
x2+(a+2)x+b-f(x)，试判断g（x）是不是K2函数？并给予证明．⏟
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）据题意：
f(-1)≤0
f(1)≤0
∴
a-b+1≤0
a+b+1≤0

可行域如图class="stub"b-5
a-2
的几何意义是定点P（2，5）到区域内的点Q（a，b）连线的斜率k，class="stub"b-5
a-2
的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）当f（x）有零点时，a2≥4b，满足条件为
-1≤a≤1
-1≤b≤1
a2≥4b

由抛物线的下方与a=±1，b=-1围成的区域面积，S1=
∫1-1
(class="stub"1
4
a2+1)da=(class="stub"1
12
a3+a)
|1-1
=class="stub"13
6
，
由直线a=±1，b=±1围成的区域面积S2=4，
故f（x）有零点的概率P=
S1
S2
=class="stub"13
24
，∴f（x）无零点的概率为
.
P
=1-P=class="stub"11
24
；
（3）g（x）是K2函数，
证明：g(x)=class="stub"9
5
x2+2x符合条件，
因为
555
k个5
=5(1+10+100++10k-1)=class="stub"5
9
(10k-1)，
同理：
555
2k个5
=class="stub"5
9
(102k-1)；g(
555
k个5
)=g(class="stub"5
9
(10k-1))=class="stub"9
5
[class="stub"5
9
(10k-1)]2+2×class="stub"5
9
(10k-1)
=class="stub"5
9
(10k-1)2+2×class="stub"5
9
(10k-1)=class="stub"5
9
(10k-1)(10k+1)=class="stub"5
9
(102k-1)=
555
2k个5
，
所以，g(x)=class="stub"9
5
x2+2x符合条件．

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