首页 > 已知函数f（x）=sin（ωx+π3）（x∈R），且f(π6)=1．（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=12sin12x

已知函数f（x）=sin（ωx+π3）（x∈R），且f(π6)=1．（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=12sin12x

题目简介

已知函数f（x）=sin（ωx+π3）（x∈R），且f(π6)=1．（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=12sin12x

题目详情

已知函数f（x）=sin（ωx+
π
3
）（x∈R），且f(
π
6
)=1．
（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=
1
2
sin
1
2
x的图象；
（3）在（1）的前提下，设α∈[
π
6
，
2π
3
，β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，f(α)=
3
5
，f（β）=-
4
5
，
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为f(class="stub"π
6
)=1，所以sin(ω•class="stub"π
6
+class="stub"π
3
)=1，
于是ω•class="stub"π
6
+class="stub"π
3
=class="stub"π
2
+2kπ(k∈Z)，即ω=1+12k（k∈Z），
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时f(x)=sin(x+class="stub"π
3
)．
（2）先将y=sin(x+class="stub"π
3
)的图象向右平移class="stub"π
3
个单位得y=sinx的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sinclass="stub"1
2
x的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的class="stub"1
2
倍（横坐标不变）得y=class="stub"1
2
sinclass="stub"1
2
x的图象．
（3）因为f（α）=class="stub"3
5
，f(β)=-class="stub"4
5
，
所以sin(α+class="stub"π
3
)=class="stub"3
5
，sin(β+class="stub"π
3
)=-class="stub"4
5
．
因为α∈[class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
]，β∈(-class="stub"5π
6
，-class="stub"π
3
)，
所以α+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
2
，π]，β+class="stub"π
3
∈(-class="stub"π
2
，0)．
于是cos(α+class="stub"π
3
)=-class="stub"4
5
，cos(β+class="stub"π
3
)=class="stub"3
5
．
①因为tan(α+class="stub"π
3
)=
sin(α+class="stub"π
3
)
cos(α+class="stub"π
3
)
=-class="stub"3
4
，
所以tanα=tan[(α+class="stub"π
3
)-class="stub"π
3
]=
tan(α+class="stub"π
3
)-tanclass="stub"π
3
1+tan(α+class="stub"π
3
)•tanclass="stub"π
3
=
-class="stub"3
4
-
3
1+(-class="stub"3
4
)•
3
=
4
3
+3
3
3
-4
=
48+25
3
11
．
②因为sin(α-β)=sin[(α+class="stub"π
3
)-(β+class="stub"π
3
)]=sin(α+class="stub"π
3
)cos(β+class="stub"π
3
)-cos(α+class="stub"π
3
)sin(β+class="stub"π
3
)=class="stub"3
5
•class="stub"3
5
-(-class="stub"4
5
)•(-class="stub"4
5
)=-class="stub"7
25
，
所以cos2（α-β）-1=-2sin2（α-β）=-2×(-class="stub"7
25
)2=-class="stub"98
625
．

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