首页 > （一）已知a，b，c∈R+，①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．（二）已知a，b，x，y∈R+，①求证：x2a+y2b≥(x+y)2

（一）已知a，b，c∈R+，①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．（二）已知a，b，x，y∈R+，①求证：x2a+y2b≥(x+y)2

题目简介

（一）已知a，b，c∈R+，①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．（二）已知a，b，x，y∈R+，①求证：x2a+y2b≥(x+y)2

题目详情

（一）已知a，b，c∈R+，
①求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的结论求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求证：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的结论求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（一）①a2+b2≥2ab，c2+b2≥2bc，a2+c2≥2ac，…（3分）
三式相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ac
当且仅当a=b=c时等号成立                  …（6分）
②1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）…（9分）
则ab+bc+ac≤class="stub"1
3
，当且仅当a=b=c时等号成立．    …（12分）
（二）①要证
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
，只要证(
x2
a
+
y2
b
)(a+b)≥(x+y)2，…（3分）
则(
x2
a
+
y2
b
)(a+b)=x2+y2+
bx2
a
+
ay2
b
≥x2+y2+2xy=(x+y)2，
当且仅当bx=ay时等号成立．故原不等式得证．     …（6分）
②由①的结论知：class="stub"1
2x
+class="stub"9
1-2x
≥
(1+3)2
2x+1-2x
=16，
当且仅当x=class="stub"1
8
时，等号成立．                …（12分）

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