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已知f(n)=1+12+13+…+1n，n∈n*，求证：（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m)＞n-mn；（2）当n＞1时，f(2n)＞n+22；（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整

题目简介

已知f(n)=1+12+13+…+1n，n∈n*，求证：（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m)＞n-mn；（2）当n＞1时，f(2n)＞n+22；（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整

题目详情

已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈n*，求证：
（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m)＞
n-m
n
；
（2）当n＞1时，f(2n)＞
n+2
2
；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N0，使得当n＞N0时，有f（n）＞M．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）当m＜n时，
f（n）-f（m）=class="stub"1
m+1
+class="stub"1
m+2
+…+class="stub"1
n
≥class="stub"1
n
+class="stub"1
n
+…+class="stub"1
n
=class="stub"n-m
n
．
（2）当n＞1时，
f(2n)=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
2n
=1+class="stub"1
2
+( class="stub"1
3
+class="stub"1
4
 )+…+( class="stub"1
2n-1+1
+class="stub"1
2n-1+2
+…+class="stub"1
2n
 )＞1+class="stub"1
2
+class="stub"2
4
+…+
2n-1
2n
=1+class="stub"n
2
=class="stub"n+2
2
；
（3）∵f(n+1)-f(n)=class="stub"1
n+1
＞0，
∴f（n）在N*上单调递增．
由（2）可知，当n＞1时，f(2n)＞1+class="stub"n
2
＞class="stub"n
2
．对任意给定的正数M，设M0是比M大的最小正整数，
取N0=22 M0，则当n＞N0时，f(n)＞f(N0)=f(22 M0)＞
2 M0
2
=M0＞M．

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