已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）＞6abc．-数学

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已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）＞6abc．

题型：解答题难度：中档来源：不详

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证明：∵b2+c2≥2bc，a＞0，
∴a（b2+c2）≥2abc             ①…（5分）
同理 b（c2+a2）≥2abc          ②
c（a2+b2）≥2abc               ③…（9分）
因为a，b，c不全相等，所以b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号，
从而①、②、③三式也不能全取“=”号
∴三式相加可得：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc…（14分）

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