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> 设x>0,y>0,z>0,(Ⅰ)比较x2x+y与3x-y4的大小;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:x3x+y+y3y+z+z3z+x≥xy+yz+zx2.-数学
设x>0,y>0,z>0,(Ⅰ)比较x2x+y与3x-y4的大小;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:x3x+y+y3y+z+z3z+x≥xy+yz+zx2.-数学
题目简介
设x>0,y>0,z>0,(Ⅰ)比较x2x+y与3x-y4的大小;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:x3x+y+y3y+z+z3z+x≥xy+yz+zx2.-数学
题目详情
设x>0,y>0,z>0,
(Ⅰ)比较
x
2
x+y
与
3x-y
4
的大小;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:
x
3
x+y
+
y
3
y+z
+
z
3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(Ⅰ)∵
x
2
x+y
-
class="stub"3x-y
4
=
(x-y)
2
4(x+y)
≥0
,∴
x
2
x+y
≥
class="stub"3x-y
4
.(5分)
(Ⅱ)由(1)得
x
3
x+y
≥
3
x
2
-xy
4
.
类似的
y
3
y+z
≥
3
y
2
-yz
4
,
z
3
z+x
≥
3
z
2
-zx
4
,(7分)
又
x
2
+
y
2
+
z
2
-(xy+yz+zx)=
class="stub"1
2
[(x-y
)
2
+(y-z
)
2
+(z-x
)
2
]≥0
;
∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx(9分)(另证:x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,三式相加).
∴
x
3
x+y
+
y
3
y+z
+
z
3
z+x
≥
3
x
2
-xy+3
y
2
-yz+3
z
2
-zx
4
=
3(
x
2
+
y
2
+
z
2
)-xy-yz-zx
4
≥
3(xy+yz+zx)-xy-yz-zx
4
=
class="stub"xy+yz+zx
2
(12分)
上一篇 :
求证:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2.-数学
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已知,且,求证:-高二数学
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设x>0,y>0,z>0,(Ⅰ)比较x2x+y与3x-y4的大小;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:x3x+y+y3y+z+z3z+x≥xy+yz+zx2.-数学
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(Ⅰ)比较
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,证明:
答案
(Ⅱ)由(1)得
类似的
又x2+y2+z2-(xy+yz+zx)=
∴x2+y2+z2≥xy+yz+zx(9分)(另证:x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx,三式相加).
∴